Rabu, 17 September 2008

Persamaan Eksponen

Persamaan Eksponen

Pengantar
Sebelum masuk ke dalam persamaan eksponen, harus diingat kembali tentang Bilangan Berpangkat Rasional.
Yang biasa ditulis dengan : a m/n
Dimana a є R dan a ≠ 0 dan m bilangan bulat dan n bilangan asli lebih dari 1
Sifat-sifat operasi bilangan berpangkat rasional:
1. ap x aq = ap+q
2. (a x b)p = ap x bp
3. ap : aq = ap-q
4. (a : b)p = ap : ap
5. (ap)q = apxq
6. a-p = 1/ap

Pengertian
Persamaan Exponen adalah persamaan yang didalamnya terdapat pangkat yang berbentuk fungsi dalam x (x sebagai peubah) atau persamaan yang bilangan pokoknya dan eksponennya memuat peubah x

Contoh:
1. 2x + 1
2. (x – 2) x - 4

BENTUK-BENTUK
A. af(x) = ap ® f(x) = p
Caranya ® Samakan bilangan pokoknya sehingga pangkatnya dapat disamakan
Contoh:
3x – 4 = 1
3x – 4 = 30
Maka x – 4 = 0
X = 4
B. af(x) = ag(x) ® f(x) = g(x)Caranya ® Samakan bilangan pokoknya sehingga pangkatnya dapat disamakan.
contoh :
2 SUKU ® SUKU DI RUAS KANAN, 1 SUKU DI RUAS KIRI
Ö(82x-3) = (32x+1)1/4(23)(2x-3)1/2 = (25)(x+1)1/42(6x-9)/2 = 2(5x-5)/4(6x-9)/2 = (5x-5)/424x-36 = 10x+1014x = 46x = 46/14 = 23/7
3x²-3x+2 + 3x²-3x = 103².3x²-3x+3x²-3x = 109. 3x²-3x + 3x²-3x = 1010. 3x²-3x = 103x² - 3x = 30x² - 3x = 0x(x-3) = 0x1 = 0 ; x2 = 3
3 SUKU ® GUNAKAN PEMISALAN
22x + 2 - 2 x+2 + 1 = 022.22x - 22.2x + 1 = 0Misalkan : 2x = p 22x = (2x)² = p²4p² -4p + 1 = 0(2p-1)² = 02p - 1 = 0p =1/22x = 2-1x = -1
3x + 33-x - 28 = 103x + 33/3x - 28 = 10misal : 3x = pp + 27/p - 28 = 0p² - 28p + 27 = 0(p-1)(p-27) = 0p1 = 1 ® 3x = 30 x1 = 0p2 = 27 ® 3x = 33x2 = 3



C. af(x) = bf(x) ® f(x) = 0
Bilangan pokok berbeda, pangkat sama. Pangkatnya = 0.
Contoh:
3x²-x-2 = 7x²-x-2x² - x -2 = 0(x-2)(x+1) = 0x1 = 2 ; x2 = -1
D. af(x) = bg(x) ® f(x) log a = g(x) log b
Bilangan pokok berbeda, pangkat berbeda. Diselesaikan dengan menggunakan logaritma.
Contoh:
4x-1 = 3x+1(x-1)log4 = (x+1)log3xlog4 - log4 = x log 3 + log 3x log 4 - x log 3 = log 3 + log 4x (log4 - log3) = log 12x log 4/3 = log 12x log 4/3 = log 12 x = log 12/ log 4/3 = 4/3 log 12
E. f(x) g(x) = f(x) h(x) ® Bilangan pokok (dalam fungsi) sama, pangkat berbeda.Tinjau beberapa kemungkinan.
Pangkat sama g(x) = h(x)
Bilangan pokok f(x) = 1 ket: 1g(x) = 1h(x) = 1
Bilangan pokok f(x) = -1Dengan syarat, setelah nilai x didapat dari f(x)=-1 , maka nilaipangkatnya yaitu g(x) dan h(x) kedua-duanya harus genap atau kedua-duanya harus ganjil.ket :g(x) dan h(x) Genap : (-1)g(x) = (-1)h(x) = 1g(x) dan h(x) Ganjil : (-1)g(x) = (-1)h(x) = -1
Bilangan pokok f(x) = 0Dengan syarat, setelah nilai x didapat dari f(x) = 0, maka nilai pangkatnya yaitu g(x) dan h(x) kedua-duanya harus positif.ket : g(x) dan h(x) positif ® 0g(x) = 0h(x) = 0
Contoh:
(x² + 5x + 5)3x-2 = (x² + 5x + 5)2x+3
Pangkat sama 3x - 2 = 2x + 3 ® x1 = 5
Bilangan pokok = 1x² + 5x + 5 = 1x² + 5x + 4 = 0 ® (x-1)(x-4) = 0 ® x2 = 1 ; x3 = 4
Bilangan pokok = -1x² - 5x + 5 = -1x² - 5x + 6 = 0 ® (x-2)(x-3) = 0 ® x4 = 2 ; x5 = 3g(2) = 4 ; h(2) = 7 ; x4 = 2 tak memenuhi karena (-1)4 ¹ (-1)7g(3) = 7 ; h(3) = 9 ; x5 = 3 memenuhi karena (-1)7 = (-1)9 = -1
Bilangan pokok = 0x² - 5x + 5 = 0 ® x5,6 = (5 ± Ö5)/2kedua-duanya memenuhi syarat, karena :g(2 1/2 ± 1/2 Ö5) > 0h(2 1/2 ± 1/2 Ö5) > 0Harga x yang memenuhi persamaan diatas adalah :HP : { x x = 5,1,4,3,2 1/2 ± 1/2 Ö5}
F. A{af(x)}2 = B{af(x)}2 + C = 0
Dengan ketentuan a>0 dan a ≠ 0, A, B dan C bilangan Real dan A ≠ 0
Caranya: 1. mengubah persamaan exponen ke dalam persamaan kuadrat dengan pemisalan a f(x) = y sehingga persamaan kuadrat yang didapatkan sebagai berikut: Ay2 + By + C = 0
Contoh:
22x – 12 .2x + 32 = 0
(2x)2 – 12 (2x) + 32 = 0
Misalkan 2x = y, maka persamaan menjadi:
y2 – 12y + 32 =0
(y – 4) (y – 8) =0
Untuk y = 4 didapatkan:
2x = 4
2x = 22
X = 2
Untuk y = 8
2x = 8
2x = 23
X = 3
Jadi himpunan penyelesaiannya = {2,3}


FUNGSI EKSPONEN

Fungsi adalah …………
Contoh bentuk fungsi exponen:



y=f(x)=ax


xDari gambar di samping terlihat setiap x є Q dipasangkan (dipetakan) tepat dengan satu anggota R (ax) dengan syarat
a > 0 dan a ≠1






Q R

Oleh karena peubah x dan ax merupakan eksponen, maka fungsi f: x à ax disebut fungsi eksponen. Jadi fungsi exponen dengan bilangan pokok atau basis a dapat ditulis:

f : x à ax atau y = f(x) = ax

Grafik Fungsi Exponen
Contoh: Gambar grafik fungsi exponen:
1. y = f(x) = 2x
2. y = f(x) = (1/2)x
3. Gabungkan gambar keduanya
Dikerjakan bersama…..
Penerapan Fungsi Eksponen
1. Menentukan pertumbuhan penduduk
A(t) = A0 [1 + p/100]t atau A(t) = Ao . Bt
2. Mengukur perubahan tekanan udara di atmosfer
P(y) = Po .e-by
Dengan P(y) tekanan akhir, Po tekanan awal, y ketinggian, b = 0,116 km-1 dan e = 2,71828..
3. Mengukur perubahan intensitas sinar-X
I = Io . e-µ.d
Dimana Io intensitas cahaya awal, µ koefisien atenuasi bahan, d ketebalan bahan
4. Peluruhan zat radioaktif
M = Mo . e-λ.d dimana λ konstanta peluruhan
5. Menghitung suku bunga
Mn = M [1 + i]n dimana i = p/100, p suku bunga pertahun
Contoh:
Pada tahun 1998 penduduk Salatiga 35.500 jiwa. Jika persentase pertumbuhan penduduk tiap tahun 0,5%, maka jumlah penduduk tahun 2000 adalah....
Yudi mempunyai modal Rp 5.000.000, ditabung dengan sistem bunga majemuk dengan bunga 2% pertahun. Jumlah modal yudi setelah 5 tahun adalah....










Suatu modal sebesar Rp 200.000,00 diperbungakan selama 6 tahun
berturut-turut dengan suku bunga majemuk 5 % setahun. Berapakah besar
modal setelah 6 tahun tersebut ?
Jawab :
M6 = 200.000 (1+ 0,05) 6
= 200.000 (1,34009564) (lihat daftar bunga !)
= 268.019,13
Jadi setelah 6 tahun modal menjadi Rp 268.019,13.

Hakekat Manusia

I. WAWASAN TENTANG MANUSIA

1. Mengenal dan menjelaskan hakekat manusia Indonesia seutuhnya, meliputi kajian dimensi keindividuan, kesosialan, kesusilaan, dan keberagaman serta cara pengembangannya.
2. Kemampuan tersebut diharapkan menjadikan kita lebih bijaksana dalam melaksanakan fungsi dan peranannya sebagai pendidik yang profesional.
1.1. Hakekat Manusia dengan dimensi-dimensinya
Untuk memahami hakekat manusia berturut2 dibahas beberapa pengertian berdasarkan:
Pandangan berbagai agama, filsafat kuno maupun modern, terutama menurut pandangan filsafat Pancasila.
Pandangan para pakar biologi, psikologi dan perdagogi.
Dimensi keindividuan, kesosiialan, kesusilaan dan keberagamaan manusia.
Hakekat Manusia
1. Kepustakaan hindu (Ciwa) menyatakan bahwa atman manusia datang langsung dari Tuhan (Bathara Ciwa) dan sekaligus menjadi penjelmaannya.
2. Kepustaan agama Budha menggambarkan bahwa manusia adalah mahluk samsara, merupakan wadah dari the absolute yang hidupnya penuh dengan kegelapan.
3. Pendapat kaum pemikir kuno yang bercampur dengan mistik menyatakan bahwa manusia adalah manifestasi yang paling komplit dan paling sempurna dari Tuhan Yang Maha Esa, intisari dari semua mahluk yang memiliki kecerdasan.
4. Filosof Socrates menyatakan bahwa hakekat manusia terletak pada budinya yang memungkinkan untuk menentukan kebenaran dan kebaikan. Plato dan Aristoteles menyatakan hakikat manusia terletak pada pikirnya.
5. Tokoh Dunia Barat melanjutkan pendapat Plato & Aristoteles tentang hakekat kebaikan manusia yg selanjutnya bergeser ke pandangan humanistik yg menyatakan manusia merupakan kemenyuluruhan dari segala dimensinya. (1), Spinoza berpandangan pantheistik menyatakan hakekat manusia sama dengan Tuhan dan sama pula dengan hakekat alam semesta. (2), Voltaire mengatakan hakekat manusia sangat sulit untuk diketahui dan butuh waktu yang sangat panjang untuk mengungkapkannya.
6. Notonagoro mengatakan manusia pada hakekatnya adalah mahluk mono-dualis yang merupakan kesatuan dari jiwa dan raga yg tak terpisahkan.
7. Para ahli biologi memandang hakekat manusia titik beratnya pada segi jasad, jasmani, atau wadag dengan segala perkembangannya. Pandangan ini dipelopori oleh Darwin dengan teori evolusinya.
8. Para ahli psikologi sebaliknya menyatakan bahwa hakekat manusia adalah rokhani, jiwa atau psikhe.
9. Ahli teori konvergensi antara lain William Stern berpendapat bahwa hakekat manusia merupakan paduan antara jasmani dan rokhani.
10. Pandangan dari segi agama, Islam, Kristen, dan Katolik menolak pandangan hakekat manusia adalah jasmani dengan teori evolusi. Hakekat manusia adalah paduan menyeluruh antara akal, emosi dan perbuatan. Dengan hati dan akalnya manusia terus menerus mencari kebenaran dan dianugerahi status sebagai khalifah Allah.
11. Pancasila memandang hakekat manusia memiliki sudut pandang yg monodualistik & monopluralistik, keselarasan, keserasian, dan keseimbangan, integralistik, kebersamaan dan kekeluargaan.



Dimensi-dimensi Manusia
1.1.1. Dimensi keindividuan
Manusia adalah mahluk monodualis ciptaan Tuhan yang dikaruniai status sebagai Khalifah Allah di atas bumi.
Bayi dianugerahi keadaan jasmani yang lemah tetapi memiliki potensi-potensi jasmaniah berupa konstruksi tubuh lengkap serta rokhaniah berupa daya cipta, rasa, karsa, intuisi, bakat.
Faktor-faktor potensi bawaan inilah yang membedakan manusia yang satu dengan yang lainya yg bersifat unik yang dapat berkembang dengan adanya pengaruh lingkungan.

1.1.2. Dimensi kesosialan
Manusia disamping mahluk mono-dualis sekaligus mahluk mono-pluralis.
Manusia dilahirkan sebagai suku bangsa tertentu dengan adat kebudayaan tertentu pula.
Sebagai anggota suatu masyarakat, seseorang berkewajiban untuk berperan dan menyesuaikan diri serta bekerja sama dengan masyarakat.
Manusia dan masyarakat merupakan realitas yang saling memajukan & saling memperkembangkan.
Manusia pada dasarnya memiliki dimensi kesosialan.

1.1.3. Dimensi kesusilaan
Manusia dengan kemampuan akalnya memungkinkan untuk menentukan sesuatu manakah yang baik dan manakah yang buruk, manakah yang pantas dan manakah yang tidak pantas.
Dengan pertimbangan nilai-nilai budaya yang dijunjungnya memungkinkan manusia untuk berbuat dan bertindak secara susila.

1.1.4. Dimensi keberagamaan
Manusia adalah mahluk religius yang dianugerahi ajaran-ajaran yg dipercayainya yang didapatkan melalui bimbingan nabi demi kemaslahatan dan keselamatannya.
Manusia sebagai mahluk beragama mempunyai kemampuan menghayati pengalaman diri dan dunianya menurut agama masing-masing.
Pemahaman agama diperoleh melalui pelajaran agama, sembahyang, doa-doa maupun meditasi, komitmen aktif & praktek ritual.
1.2. Konsep Manusia Indonesia Seutuhnya
Konsep manusia Indonesia seutuhnya dikembangkan atas pandangan hidup bangsa Indonesia yakni Pancasila, yang menganut paham integralistik disesuaikan dengan struktur sosial masyarakat Indonesia yang ber-Bhineka Tunggal Ika.
Dengan pandangan hidup Pancasila, pengembangan manusia Indonesia seutuhnya diusahakan agar hidup selaras, serasi dan seimbang dalam konteks hubungan manusia dengan ruang lingkupnya.

Manusia sebagai pribadi yang utuh
Dalam hidupnya, manusia perlu adanya keselarasan, keserasian, dan keseimbangan yang menyangkut dua hal yaitu pengembangan jasmani dan rokhani dan keseimbangan dalam pengembangan daya cipta (kognisi), rasa (emosi), dan karsa (konasi).

Manusia yg utuh hubungannya dg masyarakat
Manusia tidak akan mampu hidup tanpa bantuan orang lain.
Kenyataan ini menunjukkan bahwa manusia hanya mempunyai arti dan dapat hidup bila berada di antara manusia lain berkat adanya interaksi dan adanya saling ketergantungan pada orang lain.

Manusia utuh hubungannya dg alam
Alam diciptakan beserta isinya memberikan kemudahan, kenikmatan dan tantangan bagi hidup manusia.
Manusia mempunyai kewajiban untuk menjaga kelestarian alam lingkungan dengan melakukan penghematan dalam pemakaian sumber daya alam yang tidak dapat diperbarui, serta memperhitungkan secara rinci berbagai dampak lingkungan akibat kegiatan pemanfaatannya.

Manusia utuh hubungannya dg Tuhan
Jauh dekatnya hubungan ditandai dengan tinggi rendahnya keimanan dan ketaqwaan manusia yang bersangkutan.
Di dalam masyarakat Pancasila, meskipun agama dan kepercayaan yang dianutnya berbeda-beda, diupayakan terciptanya kehidupan beragama yang mencerminkan adanya saling pengertian, menghargai, kedamaian, ketentraman, & persahabatan.

Hubungan manusia Indonesia dengan bangsa-bangsa lain
Dijiwai dengan bagian pembukaan UUD 45 bahwa kemerdekaan itu adalah hak segala bangsa dan oleh sebab itu maka penjajahan di atas dunia harus dihapuskan karena tidak sesuai dengan peri-kemanusiaan dan keadilan.
Dg dijiwai cinta damai & cinta kemerdekaan, manusia Indonesia senantiasa menginginkan hidup berdampingan dengan bangsa lain secara damai dan tenteram.

Hubungan manusia dalam mengejar kemajuan lahiriah & kebahagiaan rokhaniah
Sesuai dengan dasar pengendalian diri dalam mengejar kepentingan, pribadi, maka manusia Indonesia yang mendasarkan diri pada pandangan hidup Pancasila dalam mewujudkan tujuan hidupnya, memiliki kesadaran bahwa setiap gerak arah & cara-cara melaksanakan tujuan hidupnya senantiasa dijiwai oleh Pancasila.

1.3. Pengembangan Dimensi Hakekat Manusia
Usaha pengembangan hakekat manusia dalam dimensi keindividuan, kesosialan, kesusilaan, & keberagamaan berangkat dari anggapan dasar bahwa manusia secara potensial memiliki semua dimensi tersebut, yang memungkinkan dan harus dapat dikembangkan secara bertahap, terarah dan terpadu melalui pendidikan sehingga dapat menjadi aktual.

Konsep dasar pengembangan manusia sebagai makhluk individu
Manusia sebagai bagian yang tak terpisahkan dari kesemestaan mampu mengembangkan interelasi dan interaksi dengan orang lain secara selaras serasi seimbang tanpa kehilangan jati dirinya.
Pengembangannya sebagai peserta didik diselenggarakan dalam lingkungan pendidikan keluarga, sekolah, & masyarakat pengembangan self extence menyangkut aspek jasmani-rohani, cipta-rasa-karsa sebagai dimensi keindividuan.

Pengembangan manusia sebagai makhluk sosial
Manusia sejak lahir hingga ajalnya perlu dibantu oleh orang lain.
Manusia harus merasa sadar dirinya terpanggil untuk berbuat baik bagi orang lain dan masyarakat.
Pengembangan dimensi tersebut harus dimulai sejak di keluarga, sekolah dan masyarakat, untuk itu nilai/norma/kaidah yang berlaku didalam keluarga juga perlu dijunjung tinggi di sekolah dan masyarakat.


Pengembangan manusia sebagai makhluk susila
Hanya manusia sajalah yang mampu menghayati norma-norma dan nilai-nilai dalam kehidupan sehingga dapat menetapkan pilihan tingkah laku yang baik dan yang buruk.
Bagi manusia Indonesia norma-norma dan nilai-nilai yang perlu dikembangkan adalah nilai-nilai universal yang diakomodasi dan diadaptasi dalam nilai-nilai khas yang terkandung dalam budaya bangsa.
Sebagai manusia Indonesia yang ideal adalah manusia yang memiliki pikiran, ide, gagasan yang terkristal dalam kelima nilai dasar dalam Pancasila.

Pengembangan manusia sebagai makhluk beragama
Sementara pihak ada yg lebih mengutamakan terciptanya suasana penghayatan keagamaan lebih dari pengajaran keagamaan.
Untuk itu yg perlu diutamakan adalah sikap teladan dari orang tua, guru dan pendidik lainnya disertai dengan pilihan metode pendidikan yang tepat dan ditunjang dengan kemudahan-kemudahan fasilitas yang memadai.
Demikian pula halnya di sekolah dan di masyarakat yang religius.