Rabu, 17 September 2008

Persamaan Eksponen

Persamaan Eksponen

Pengantar
Sebelum masuk ke dalam persamaan eksponen, harus diingat kembali tentang Bilangan Berpangkat Rasional.
Yang biasa ditulis dengan : a m/n
Dimana a є R dan a ≠ 0 dan m bilangan bulat dan n bilangan asli lebih dari 1
Sifat-sifat operasi bilangan berpangkat rasional:
1. ap x aq = ap+q
2. (a x b)p = ap x bp
3. ap : aq = ap-q
4. (a : b)p = ap : ap
5. (ap)q = apxq
6. a-p = 1/ap

Pengertian
Persamaan Exponen adalah persamaan yang didalamnya terdapat pangkat yang berbentuk fungsi dalam x (x sebagai peubah) atau persamaan yang bilangan pokoknya dan eksponennya memuat peubah x

Contoh:
1. 2x + 1
2. (x – 2) x - 4

BENTUK-BENTUK
A. af(x) = ap ® f(x) = p
Caranya ® Samakan bilangan pokoknya sehingga pangkatnya dapat disamakan
Contoh:
3x – 4 = 1
3x – 4 = 30
Maka x – 4 = 0
X = 4
B. af(x) = ag(x) ® f(x) = g(x)Caranya ® Samakan bilangan pokoknya sehingga pangkatnya dapat disamakan.
contoh :
2 SUKU ® SUKU DI RUAS KANAN, 1 SUKU DI RUAS KIRI
Ö(82x-3) = (32x+1)1/4(23)(2x-3)1/2 = (25)(x+1)1/42(6x-9)/2 = 2(5x-5)/4(6x-9)/2 = (5x-5)/424x-36 = 10x+1014x = 46x = 46/14 = 23/7
3x²-3x+2 + 3x²-3x = 103².3x²-3x+3x²-3x = 109. 3x²-3x + 3x²-3x = 1010. 3x²-3x = 103x² - 3x = 30x² - 3x = 0x(x-3) = 0x1 = 0 ; x2 = 3
3 SUKU ® GUNAKAN PEMISALAN
22x + 2 - 2 x+2 + 1 = 022.22x - 22.2x + 1 = 0Misalkan : 2x = p 22x = (2x)² = p²4p² -4p + 1 = 0(2p-1)² = 02p - 1 = 0p =1/22x = 2-1x = -1
3x + 33-x - 28 = 103x + 33/3x - 28 = 10misal : 3x = pp + 27/p - 28 = 0p² - 28p + 27 = 0(p-1)(p-27) = 0p1 = 1 ® 3x = 30 x1 = 0p2 = 27 ® 3x = 33x2 = 3



C. af(x) = bf(x) ® f(x) = 0
Bilangan pokok berbeda, pangkat sama. Pangkatnya = 0.
Contoh:
3x²-x-2 = 7x²-x-2x² - x -2 = 0(x-2)(x+1) = 0x1 = 2 ; x2 = -1
D. af(x) = bg(x) ® f(x) log a = g(x) log b
Bilangan pokok berbeda, pangkat berbeda. Diselesaikan dengan menggunakan logaritma.
Contoh:
4x-1 = 3x+1(x-1)log4 = (x+1)log3xlog4 - log4 = x log 3 + log 3x log 4 - x log 3 = log 3 + log 4x (log4 - log3) = log 12x log 4/3 = log 12x log 4/3 = log 12 x = log 12/ log 4/3 = 4/3 log 12
E. f(x) g(x) = f(x) h(x) ® Bilangan pokok (dalam fungsi) sama, pangkat berbeda.Tinjau beberapa kemungkinan.
Pangkat sama g(x) = h(x)
Bilangan pokok f(x) = 1 ket: 1g(x) = 1h(x) = 1
Bilangan pokok f(x) = -1Dengan syarat, setelah nilai x didapat dari f(x)=-1 , maka nilaipangkatnya yaitu g(x) dan h(x) kedua-duanya harus genap atau kedua-duanya harus ganjil.ket :g(x) dan h(x) Genap : (-1)g(x) = (-1)h(x) = 1g(x) dan h(x) Ganjil : (-1)g(x) = (-1)h(x) = -1
Bilangan pokok f(x) = 0Dengan syarat, setelah nilai x didapat dari f(x) = 0, maka nilai pangkatnya yaitu g(x) dan h(x) kedua-duanya harus positif.ket : g(x) dan h(x) positif ® 0g(x) = 0h(x) = 0
Contoh:
(x² + 5x + 5)3x-2 = (x² + 5x + 5)2x+3
Pangkat sama 3x - 2 = 2x + 3 ® x1 = 5
Bilangan pokok = 1x² + 5x + 5 = 1x² + 5x + 4 = 0 ® (x-1)(x-4) = 0 ® x2 = 1 ; x3 = 4
Bilangan pokok = -1x² - 5x + 5 = -1x² - 5x + 6 = 0 ® (x-2)(x-3) = 0 ® x4 = 2 ; x5 = 3g(2) = 4 ; h(2) = 7 ; x4 = 2 tak memenuhi karena (-1)4 ¹ (-1)7g(3) = 7 ; h(3) = 9 ; x5 = 3 memenuhi karena (-1)7 = (-1)9 = -1
Bilangan pokok = 0x² - 5x + 5 = 0 ® x5,6 = (5 ± Ö5)/2kedua-duanya memenuhi syarat, karena :g(2 1/2 ± 1/2 Ö5) > 0h(2 1/2 ± 1/2 Ö5) > 0Harga x yang memenuhi persamaan diatas adalah :HP : { x x = 5,1,4,3,2 1/2 ± 1/2 Ö5}
F. A{af(x)}2 = B{af(x)}2 + C = 0
Dengan ketentuan a>0 dan a ≠ 0, A, B dan C bilangan Real dan A ≠ 0
Caranya: 1. mengubah persamaan exponen ke dalam persamaan kuadrat dengan pemisalan a f(x) = y sehingga persamaan kuadrat yang didapatkan sebagai berikut: Ay2 + By + C = 0
Contoh:
22x – 12 .2x + 32 = 0
(2x)2 – 12 (2x) + 32 = 0
Misalkan 2x = y, maka persamaan menjadi:
y2 – 12y + 32 =0
(y – 4) (y – 8) =0
Untuk y = 4 didapatkan:
2x = 4
2x = 22
X = 2
Untuk y = 8
2x = 8
2x = 23
X = 3
Jadi himpunan penyelesaiannya = {2,3}


FUNGSI EKSPONEN

Fungsi adalah …………
Contoh bentuk fungsi exponen:



y=f(x)=ax


xDari gambar di samping terlihat setiap x є Q dipasangkan (dipetakan) tepat dengan satu anggota R (ax) dengan syarat
a > 0 dan a ≠1






Q R

Oleh karena peubah x dan ax merupakan eksponen, maka fungsi f: x à ax disebut fungsi eksponen. Jadi fungsi exponen dengan bilangan pokok atau basis a dapat ditulis:

f : x à ax atau y = f(x) = ax

Grafik Fungsi Exponen
Contoh: Gambar grafik fungsi exponen:
1. y = f(x) = 2x
2. y = f(x) = (1/2)x
3. Gabungkan gambar keduanya
Dikerjakan bersama…..
Penerapan Fungsi Eksponen
1. Menentukan pertumbuhan penduduk
A(t) = A0 [1 + p/100]t atau A(t) = Ao . Bt
2. Mengukur perubahan tekanan udara di atmosfer
P(y) = Po .e-by
Dengan P(y) tekanan akhir, Po tekanan awal, y ketinggian, b = 0,116 km-1 dan e = 2,71828..
3. Mengukur perubahan intensitas sinar-X
I = Io . e-µ.d
Dimana Io intensitas cahaya awal, µ koefisien atenuasi bahan, d ketebalan bahan
4. Peluruhan zat radioaktif
M = Mo . e-λ.d dimana λ konstanta peluruhan
5. Menghitung suku bunga
Mn = M [1 + i]n dimana i = p/100, p suku bunga pertahun
Contoh:
Pada tahun 1998 penduduk Salatiga 35.500 jiwa. Jika persentase pertumbuhan penduduk tiap tahun 0,5%, maka jumlah penduduk tahun 2000 adalah....
Yudi mempunyai modal Rp 5.000.000, ditabung dengan sistem bunga majemuk dengan bunga 2% pertahun. Jumlah modal yudi setelah 5 tahun adalah....










Suatu modal sebesar Rp 200.000,00 diperbungakan selama 6 tahun
berturut-turut dengan suku bunga majemuk 5 % setahun. Berapakah besar
modal setelah 6 tahun tersebut ?
Jawab :
M6 = 200.000 (1+ 0,05) 6
= 200.000 (1,34009564) (lihat daftar bunga !)
= 268.019,13
Jadi setelah 6 tahun modal menjadi Rp 268.019,13.

Tidak ada komentar: